تحقیق مینیمم کردن توابع چند متغیره

Word 1 MB 32519 44
مشخص نشده مشخص نشده ریاضیات - آمار
قیمت: ۴,۴۰۰ تومان
دانلود فایل
  • بخشی از محتوا
  • وضعیت فهرست و منابع
  • یک طراحی مهندسی به تابعی به شکل زیر می رسد:

    که در آن x و y پارامترهایی هستند که باید انتخاب شوند و  یک تابع است، که مربوط به مخارج ساخت و ساز است و باید مینیمم شود.

    روش های قابل استفاده برای بهینه سازی کردن نقاط   را در این فصل مطالعه می کنیم.

     

     

    مقدمه:

    یک کاربرد مهم حساب دیفرانسیل، پیدا کردن مینیمم موضعی یک تابع است. مسائل مربوط به ماکزیمم کردن نیز با تئوری مینیمم کردن قابل حل هستند. زیرا ماکزیمم F در نقطه ای یافت می شود که -F مینیمم خود را اختیار می کند.

    در حساب دیفرانسیل تکنیک اساسی برای مینیمم کردن، مشتق گیری از تابعی که می‌خواهیم آن را مینیمم کنیم و مساوی صفر قرار دادن آن است.

    نقاطی که معادله حاصل را ارضا می کنند، نقاط مورد نظر هستند. این تکنیک را می توان برای توابع یک یا چند متغیره نیز استفاده کرد. برای مثال اگر یک مقدار مینیمم  را بخواهیم، به نقاطی نگاه می کنیم که هر سه مشتق پاره ای برابر صفر باشند.

    این روند را نمی توان در محاسبات عدی به عنوان یک هدف عمومی در نظر گرفت. زیرا نیاز به مشتقی دارد که با حل یک یا چند معادله بر حسب یک یا چند متغیر بدست می آید. این کار به همان سختی حل مسئله بصورت مستقیم است.

     

    مسائل مقید[1] و نامقید[2] مینیمم سازی:

    مسائل مینیمم سازی به دو شکل هستند:نامقید و مقید:

    در یک مسئله ی مینیمم سازی نامقید یک تابع F از یک فضای n بعدی  به خط حقیقی R تعریف شده و یک نقطه ی  با این خاصیت که

             

    جستجو می شود.

    نقاط در  را بصورت z, y, x و... نشان می دهیم. اگر نیاز بود که مولفه های یک نقطه را نشان دهیم می نویسیم:

     

    در یک مسئله ی مینیمم سازی مقید، زیر مجموعه ی K در  مشخص می شود . یک نقطه
     جستجو می شود که برای آن:

                     

    چنین مسائلی بسیار مشکل ترند، زیرا نیاز است که نقاط در K در نظر گرفته شوند. بعضی مواقع مجموعه ی K به طریقی پیچیده تعریف می شود.

    سهمی گون بیضوی به معادله‌ی

     

    را در نظر بگیرید که در شکل 1-14 مشخص شده است. به وضوح مینیمم نامقید در نقطه ی
    (1و1) ظاهر می شود، زیرا:

    اگر

    مینیمم مقید 4 است و در (0،0) اتفاق می افتد.

    Matlab دارای قسمتی است برای بهینه سازی که توسط اندرو گریس[3] طراحی شده و شامل دستورات زیادی برای بهینه سازی توابع عمومی خطی و غیر خطی است.

    برای مثال ما می توانیم مسئله ی مینیمم سازی مربوط به سهمی گون بیضوی نشان داده شده در شکل 1-14 را حل نماییم.

    ابتدا یک M-file به نام q1.m می نویسیم و تابع را تعریف می کنیم:

    function f=q1(x)

    آنگاه از Matlab استفاده می کنیم تا مقدار مینیمم را در نزدیکی نقطه ی  برای این تابع بدست آورد:

    type q1

     

    بدست می آوریم که نقطه ی مینیمم (1،1) است و مقدار تابع در این نقطه 2 میباشد.

     

    1-14حالت تک متغیره:

    این حالت، حالت خاصی است که در آن یک تابع F بر روی R تعریف شده باشد. ابتدا بررسی می کنیم که برای حل اینگونه مسائل چگونه باید عمل کرد، زیرا مسئله ی عمومی تر n متغیره معمولاً با یک دنباله از محاسبات روی مسائل یک متغیره حل می شود.

    فرض کنید است و ما بدنبال یک نقطه ی  می گردیم که:

             

    توجه کنید که اگر هیچ فرضی در مورد F در نظر گرفته نشود، این مسئله در فرم عمومی غیر قابل حل است. برای مثال تابع  هیچ نقطه ای مینیممی ندارد. حتی برای توابع خوش تعریفی مانند  محاسبات عددی ممکن است به مشکلاتی بر بخورد که علت آن اعداد بزرگ نقطه ی مینیمم مطلق است.

    به شکل 2-14 نگاه کنید و مسئله ی کامپیوتری 6 را ببینید. توجه کنید که نقطه ی z یک مینیمم موضعی تابع F است اگر همسایگی از z وجود داشته باشد که برای تمام نقاط داخل آن داشته باشیم:

    ما می توانیم از Matlab برای بدست آوردن مقادیر مینیمم موضعی تابع  استفاده کنیم. ابتدا ما تابع را در یک فایل به نام q2.m مطابق زیر تعریف می کنیم.

    سپس از matlab برای یافتن مقدار مینیمم در بازه ی استفاده می کنیم:

    type q2

    نقطه ی محاسبه شده ممکن است یک مینیمم مطلق نباشد. برای یافتن مینیمم مطلق می توانیم نقاط اولیه ی متفاوتی را انتخاب کنیم و مینیمم های مطلق را بیابیم، آنگاه مینیمم آن ها را پیدا کنیم.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    F تک نما[4]:

    یک فرض قابل قبول این است که در یک بازه ی [a,b] که از قبل به ما داده شده، F تنها دارای یک مینیمم موضعی باشد. این خاصیت معمولاً با گفتن این که F بر روی [a,b] تک نمایی است بیان می شود.

    (توجه:در علم آمار تک نمایی مربوط به ماکزیمم موضعی است)

    بعضی توابع تک نمایی در شکل 3-14 نشان داده شده اند:

    یک خاصیت مهم توابع تک نمایی پیوسته، که از شکل 3-14 نیز مشخص است، این است که این توابع بصورت یکنوا کاهش می یابند تا به نقطه ی مینیمم می رسند و بعد از آن بصورت یکنوا افزایش می یابند. برای مشخص کردن این موضوع،  را مینیمم تابع F در بازه ی [a,b] بگیرید و فرض کنید برای مثال F بصورت یکنوا بر روی بازه ی  کاهش نمی‌یابد، آنگاه نقاط  و  وجود دارند که:

     

     
     و

    حال فرض می کنیم  یک نقطه ی مینیمم روی بازه ی  باشد. (توجه کنید که تابع پیوسته روی یک بازه ی بسته، مینیمم خود را اختیار می کند) ما می توانیم فرض کنیم که برای اینکه اگر مقدار اولیه ،  انتخاب می شد، می توانستیم آن را با  جایگذاری کنیم، زیرا

    ولی اکنون می بینیم که  یک نقطه ی مینیم F روی  است و

    وجود دو مینیمم موضعی، البته با تک نمایی بودن F تناقض دارد.

     

    الگوریتم جستجوی فیبوناچی[5]

    اکنون مسئله ای را مطرح می کنیم که مربوط به جستجوی نقطه مینیمم  از تابع پیوسته و تک نمایی F بر روی بازه معین  می باشد. تا چه اندازه دقیق می توان نقطه مینیمم  را با فقط n ارزیابی از F محاسبه کرد؟ بدون هیچ گونه ارزیابی از F بهترین چیزی که می توان گفت این است که ، و با گرفتن نقطه میانی  به عنوان بهترین تخمین، خطای  را می دهد. یک ارزیابی به تنهایی این موقعیت را ثابت نمی نماید و بنابراین بهترین تخمین و خطا به مانند مورد قبل باقی می ماند. بنابراین حداقل دو ارزیابی تابع را نیاز داریم، تا تخمین بهتری را بدست آوریم.

     

     
    فرض کنید F در  و  محاسبه شده باشند، نتیجه در شکل 4-14 نشان داده شده. اگر  چون در سمت راست  صعودی است می توانیم مطمئن باشیم که . از طرف دیگر، استدلال مشابه در مورد  نشان می دهد که . برای اینکه دو بازه فوق را به حداقل ممکن برسانیم را به چپ و  را به راست حرکت می دهیم. بنابراین F می بایستی در دو نقطه نزدیک در هر طرف از نقطه مرکزی ارزیابی شود، همچنانکه در شکل 5-14 نشان داده شده است. فرض کنید:

    با گرفتن نقطه مرکزی زیر بازه  یا  به عنوان بهترین تخمین  از  در می یابیم که خطا از فرا تر نمی رود. این را خواننده به راحتی می تواند تأیید نماید.

    برای n=3، دو ارزیابی در  و از بازه  را در نظر می گیریم

  • فهرست:

    ندارد.
     

    منبع:

    ندارد.

دانلود مقاله برنامه ریزی ریاضی

فصل اول : برنامه ریزی ریاضی : مسائل بهینه سازی : در مسائل بهینه سازی وسیله ای (ابزاری) که بدنبال بیشینه سازی یا کمینه سازی یک مقدار مشخص می باشد تابع هدف نامیده می شود که به .. تعداد متغیرهای ورودی بستگی دارد. این متغیرها می توانند مستقل از یکدیگر باشند یا بوسیله یک یا تعدادی محدودیت با ایکدیگر ارتباط داشته باشند. با یک مثال موضوع را کمی روشنتر خواهیم نمود: مثال 1.1 : نمونه بالا ...

دانلود مقاله سریهای توانی

سريهاي تواني يک سري به شکل * که در آن و.... اعدادي ثابت هستند، يک سري تواني از x مي نامند . معمولاً براي راحتي سري *به صورت مي نويسد در حالت کلي تر سري تواني به صورت است . اگر به جاي x مقدار ثابت r در نظر بگيريم سري تواني به يک سري عددي تبديل مي

دانلود مقاله تحقیق در عملیات

برنامه‌ريزي خطي با بهينه‌سازي (ماکزيمم يا مينيمم) يک تابع خطي که از محدوديت‌هاي مساوي يا نامساوي يا ضمني تشکيل شده است، سروکار دارد. مساله برنامه‌ريزي خطي را ابتدا جرج.بي.دانتزيک در سال 1947 ابداع کرد. اگرچه ال.دي.کانترويچ مساله‌اي از اين نوع که با

دانلود تحقیق روش شناسی

روش شناسي مقدمه: ما مطمئناً فريب خواهيم داد آن دسته از خوانندگاني را که تاکنون به اندازه کافي براي خواندن کتاب موجود صبور بوده اند و کساني که را که مي خواستند بدانند براي حل مساله در نظر خود بايد از کدام متاهيورستيک (فوق اکتشافي)کمک بگيرند در وا

دانلود تحقیق کاربرد الگوریتم ژنتیک ترکیبی برای زمان بندی تولید کارگاهی

زمان بندي براي توليد کارگاهي (job shop) از دو زمينه مديريت محصول و بهره وري گروهي خيلي مهم است. هر چند که اين امر کاملا متفاوت است با بدست آوردن يک جواب بهينه با متدهاي بهينه يابي مرسوم، زيرا مسئله مورد نظر داراي محاسبات خيلي پيچيده مي باشد.(مسئله ف

دانلود مقاله پیش بینی سطح آب در مخزن با استفاده از سیستم استنتاج فازی

مقدمه: سدها و مخازن مهمترین و موثرترین سیستم ذخیره آب می باشند که توزیع نابرابر مکانی و زمانی آب را تغییر می دهند. آنها نه تنها در تامین آب شرب، تولید انرژی برقابی و آبیاری زمین های پایین دست کاربرد داشته، بلکه در به حداقل رسانی خسارات ناشی از سیلاب و خشکسالی نیز نقش موثری را ایفا می کنند. بدون شک به منظور استفاده کامل از آب موجود، مدیریت بهینه مخازن بسیار با اهمیت می باشد. ...

دانلود ‫پروژه فازی - الگوریتم genetic fuzzy k-Modes برای خوشه بندی داده های گروهی

خوشه بندي روشي است که داده هاي يک مجموعه داده را به گروه يا خوشه تقسيم مي کند . از مرسوم ترين روش هاي خوشه بندي،الگوريتم هاي خوشه بندي k-Means وfuzzy k-Means مي باشند.اين دو الگوريتم فقط روي داده هاي عددي عمل مي کنند و به منظور رفع اين محدوديت، الگو

دانلود مقاله کالا ها

هزینه ذخیزه اطمینان ( موجودی ، احتیاطی ) بارکود ، ذخیره احتیاطی در مرحله آخر کنترل شده است ، بعد فعالیت فرآیندش رخ داده است . بنابراین ، ارزش یک واحد موجودی در مرحله برابر است با هزینه تجمعی تولید در مرحله . مورد انتظار است که هزینه ذخیره اطمینان در مرحله است جائیکه کنترل کردن هزینه کم را نشان می دهد . 2-5-3 خط مستقیم هزینه موجودی کالا برای تعیین هزینه مستقیم موجودی در مرحله ما ...

دانلود تحقیق شبیه‌سازی حرارتی

چکيده در اين تحقيق ما به بررسي يکي از روش‌هاي بهينه‌سازي حل مسئله به نامSimulated Annealing مي‌پردازيم. SA در واقع الهام گرفته شده از فرآيند ذوب و دوباره سرد کردن مواد و به همين دليل به شبيه‌سازي حرارتي شهرت يافته است. در اين تحقيق ادعا نشده اس

دانلود مقاله تعیین مکان و اندازه dg

مقدمه: در اين مقاله، مدلي جهت تعيين مکان و اندازه DG را در يک سيستم توزيع معرفي مي گردد که حل با استفاده از بهينه سازي اجتماع مورچگان (ACO) به عنوان يک ابزار بهينه سازي صورت مي گيرد. در اين الگوريتم DGها به عنوان منابع توان ثابت(نظير پيلهاي سوختي)

ثبت سفارش
تعداد
عنوان محصول